3.4.68 \(\int \cos ^4(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx\) [368]

Optimal. Leaf size=50 \[ \frac {\, _2F_1\left (3,\frac {1+n}{2};\frac {3+n}{2};-\tan ^2(a+b x)\right ) (d \tan (a+b x))^{1+n}}{b d (1+n)} \]

[Out]

hypergeom([3, 1/2+1/2*n],[3/2+1/2*n],-tan(b*x+a)^2)*(d*tan(b*x+a))^(1+n)/b/d/(1+n)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.03, antiderivative size = 50, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 19, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.105, Rules used = {2687, 371} \begin {gather*} \frac {(d \tan (a+b x))^{n+1} \, _2F_1\left (3,\frac {n+1}{2};\frac {n+3}{2};-\tan ^2(a+b x)\right )}{b d (n+1)} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^n,x]

[Out]

(Hypergeometric2F1[3, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[a + b*x]^2]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))

Rule 371

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*((c*x)^(m + 1)/(c*(m + 1)))*Hyperg
eometric2F1[-p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, (-b)*(x^n/a)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rule 2687

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/f, Subst[Int[(b*x)
^n*(1 + x^2)^(m/2 - 1), x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{b, e, f, n}, x] && IntegerQ[m/2] &&  !(IntegerQ[(n
- 1)/2] && LtQ[0, n, m - 1])

Rubi steps

\begin {align*} \int \cos ^4(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx &=\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {(d x)^n}{\left (1+x^2\right )^3} \, dx,x,\tan (a+b x)\right )}{b}\\ &=\frac {\, _2F_1\left (3,\frac {1+n}{2};\frac {3+n}{2};-\tan ^2(a+b x)\right ) (d \tan (a+b x))^{1+n}}{b d (1+n)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C] Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.
time = 13.08, size = 1712, normalized size = 34.24 \begin {gather*} -\frac {8 (3+n) \left (F_1\left (\frac {1+n}{2};n,1;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-8 \left (F_1\left (\frac {1+n}{2};n,2;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-3 F_1\left (\frac {1+n}{2};n,3;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+4 F_1\left (\frac {1+n}{2};n,4;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-2 F_1\left (\frac {1+n}{2};n,5;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )\right )\right ) \cos ^3\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ) \cos ^5(a+b x) \sin ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ) (d \tan (a+b x))^n}{b (1+n) \left ((3+n) F_1\left (\frac {1+n}{2};n,1;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) (1+\cos (a+b x))+2 \left (16 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,3;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-72 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,4;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+128 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,5;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-80 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,6;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,1;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-8 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,2;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+24 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,3;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-32 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,4;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+16 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,5;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-24 F_1\left (\frac {1+n}{2};n,2;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-8 n F_1\left (\frac {1+n}{2};n,2;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )+72 F_1\left (\frac {1+n}{2};n,3;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )+24 n F_1\left (\frac {1+n}{2};n,3;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-96 F_1\left (\frac {1+n}{2};n,4;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-32 n F_1\left (\frac {1+n}{2};n,4;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )+F_1\left (\frac {3+n}{2};n,2;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) (-1+\cos (a+b x))-16 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,3;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+72 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,4;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-128 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,5;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+80 F_1\left (\frac {3+n}{2};n,6;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,1;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+8 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,2;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-24 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,3;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+32 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,4;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-16 n F_1\left (\frac {3+n}{2};1+n,5;\frac {5+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+8 (3+n) F_1\left (\frac {1+n}{2};n,5;\frac {3+n}{2};\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) (1+\cos (a+b x))\right )\right ) \left (\sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-\sin \left (\frac {3}{2} (a+b x)\right )\right )} \end {gather*}

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^n,x]

[Out]

(-8*(3 + n)*(AppellF1[(1 + n)/2, n, 1, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 8*(AppellF1[(1 +
n)/2, n, 2, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 3*AppellF1[(1 + n)/2, n, 3, (3 + n)/2, Tan[(
a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 4*AppellF1[(1 + n)/2, n, 4, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x
)/2]^2] - 2*AppellF1[(1 + n)/2, n, 5, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]))*Cos[(a + b*x)/2]^3
*Cos[a + b*x]^5*Sin[(a + b*x)/2]^2*(d*Tan[a + b*x])^n)/(b*(1 + n)*((3 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, n, 1, (3 + n)/2
, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*(1 + Cos[a + b*x]) + 2*(16*AppellF1[(3 + n)/2, n, 3, (5 + n)/2, Tan
[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 72*AppellF1[(3 + n)/2, n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a +
b*x)/2]^2] + 128*AppellF1[(3 + n)/2, n, 5, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 80*AppellF1[(
3 + n)/2, n, 6, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 1, (5 + n)/
2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 8*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 2, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2,
-Tan[(a + b*x)/2]^2] + 24*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 3, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]
- 32*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 16*n*AppellF1[(3 +
n)/2, 1 + n, 5, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 24*AppellF1[(1 + n)/2, n, 2, (3 + n)/2,
Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 - 8*n*AppellF1[(1 + n)/2, n, 2, (3 + n)/2, Tan[(a
+ b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 + 72*AppellF1[(1 + n)/2, n, 3, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/
2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 + 24*n*AppellF1[(1 + n)/2, n, 3, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2,
-Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 - 96*AppellF1[(1 + n)/2, n, 4, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a
+ b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 - 32*n*AppellF1[(1 + n)/2, n, 4, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)
/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 + AppellF1[(3 + n)/2, n, 2, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*(-1
+ Cos[a + b*x]) - 16*AppellF1[(3 + n)/2, n, 3, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x
] + 72*AppellF1[(3 + n)/2, n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] - 128*Appell
F1[(3 + n)/2, n, 5, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] + 80*AppellF1[(3 + n)/2,
n, 6, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] - n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 1, (5 +
n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] + 8*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 2, (5 + n)/2, Tan
[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] - 24*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 3, (5 + n)/2, Tan[(a + b*
x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] + 32*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2,
-Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] - 16*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 5, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a
+ b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] + 8*(3 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, n, 5, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)
/2]^2]*(1 + Cos[a + b*x])))*(Sin[(a + b*x)/2] - Sin[(3*(a + b*x))/2]))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]
time = 0.39, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \left (\cos ^{4}\left (b x +a \right )\right ) \left (d \tan \left (b x +a \right )\right )^{n}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(b*x+a)^4*(d*tan(b*x+a))^n,x)

[Out]

int(cos(b*x+a)^4*(d*tan(b*x+a))^n,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Failed to integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)^4*(d*tan(b*x+a))^n,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*tan(b*x + a))^n*cos(b*x + a)^4, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)^4*(d*tan(b*x+a))^n,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d*tan(b*x + a))^n*cos(b*x + a)^4, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \left (d \tan {\left (a + b x \right )}\right )^{n} \cos ^{4}{\left (a + b x \right )}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)**4*(d*tan(b*x+a))**n,x)

[Out]

Integral((d*tan(a + b*x))**n*cos(a + b*x)**4, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)^4*(d*tan(b*x+a))^n,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*tan(b*x + a))^n*cos(b*x + a)^4, x)

________________________________________________________________________________________

Mupad [F]
time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.02 \begin {gather*} \int {\cos \left (a+b\,x\right )}^4\,{\left (d\,\mathrm {tan}\left (a+b\,x\right )\right )}^n \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(a + b*x)^4*(d*tan(a + b*x))^n,x)

[Out]

int(cos(a + b*x)^4*(d*tan(a + b*x))^n, x)

________________________________________________________________________________________